FEM - Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode by Bernd Klein
By Bernd Klein
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5) angegeben werden. Die Gl. 5) drückt hierin den Systemzusammenhang aus, während Gl. 4) als Elementgleichung aufgestellt worden ist. An der Systemsteifigkeitsmatrix K ist zu erkennen, dass diese ebenso symmetrisch ist wie die beiden zusammengefassten Elementmatrizen. Weiterhin ist an der Matrix zu erkennen, dass diese auch sofort durch Blockaddition (direkte Steifigkeitsmethode = Überlagerung am gemeinsamen Knoten) darstellbar wäre. Dies ist eine besondere Eigenart von Systemen, die aus eindimensionalen Elementen (Stäbe, Balken) aufgebaut sind.
3) Matriziell kann dies geschrieben werden als p ª F1 º «F » ¬ 2¼ ª c c º ª u1 º « c c »¼ «¬ u 2 »¼ ¬ k u. 4) Die abgespaltene 2-x-2-Matrix k stellt hierbei die Elementsteifigkeitsmatrix einer Feder dar. Will man hingegen die Beziehung für ein System entwickeln, so müssen so viele Gleichungen aufgestellt werden, wie Unbekannte vorhanden sind und die Randbedingungen berücksichtigt werden. Im zu Grunde liegenden Beispiel soll ein System aus zwei Federn betrachtet werden, bei denen in zwei Knoten Kräfte eingeleitet werden und der dritte Knoten festgehalten ist.
Entsprechend sollen mit Fb t >F1x F1y F2 x @ die Reaktionskräfte bezeichnet werden. 4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode Sinngemäß bezeichnet Ua t und >v 2 39 u 3 v3 u 4 v 4 @ die unbekannten Verschiebungen U b t > u1 v1 u 2 @ die bekannten Randbedingungen (vorgeschriebene Auflagerverschiebungen oder Unbeweglichkeiten). Gemäß diesen Vereinbarungen kann die vorherige Gl. 5) bzw. die neu zu erstellende Systemgleichung folgendermaßen partitioniert werden: ª Fa º «F » ¬ b¼ ª K aa «K ¬ ba K ab º ª U a º .