Projektive Geometrie der Ebene: Unter Benutzung der by Hermann Grassmann
By Hermann Grassmann
Excerpt from Projektive Geometrie der Ebene Unter Benutzung der Punktrechnung Dargestellt, Vol. 1: Binäres
Das Werk, dessen ersten Band ich hiermit der Öffentlichkeit übergehe, weicht soinein Inhalte wio seiner shape nach ziemlich stark von den sonstigen analytischen Bearbeitungen der projektiven Geometrie ab; seinem Inhalte nach, insofern ich das Rechnen mit Abbildungen in den Vordergrund der Betrachtung gerückt habe, seiner shape nach, indem ich als analytisches Hülfsmittel die von A. F. Möbius und meinem Vater begründete Methode der Punktrechuung verwende, die, wie ich glaube, für die Darstellung der projektiven Geometrie manche Vorzüge hat. Da guy nämlich bei ihr nicht uur die geometrischen Gebilde, den Punkt und die Gerade, die Strecke und das Feld, sondern auch die wichtigsten Abbildungen, die Projektivität und Involution, die Kollineation, die Reziprozität und das Polarsystem, durch ein einziges image ausdrückt und direkt der Rechnung unterwirft, gelangt guy nicht nur zu Formeln vou bemerkenswerter Kürze, sondern hat aucli den Vorteil, daß jedem Schritte der Rechnung eine entsprechende begriffliche Entwickelung parallel geht, wodurch zugleich eine engere Fühlung mit der synthetischen Behandlung der Geometrie gewonnen wird. Außerdem tritt das für die projektive Geometrie so wichtige Prinzip der Dualität noch schärfer hervor, als dies hei anderen rechnerischen Methoden der Fall ist, und guy erhält ferner eine anschauliche und natürliche Deutung der Dreieckskoordinaten, die es dann auch ermöglicht, in jedem Stadium der Rechnung aufs leichteste zu den gewöhnlichen Koordinatengleichungen überzugehen.
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Abschnitts und Gl. (15)) Die dieser Di/ferenz entsprechende Summe e, + es ist nun abel' nach S. 13f. die Zuriickleitung des Punktes e = el + e2 + es auf die Seite EI unter AusschluB del' gegeniiberliegenden Ecke el , das heiBt del' Schnittpunkt del' Seite El mit del' Geraden [eel]. Und da nach Seite 54 des ersten Bandes die vier Punkte e2 , es , ell + es , e2 - es vier hal'monische Punkte sind, so hat man den Satz: Satz 282: Die Gerade des Einheitsstabes trifft eine jede Seite des Fundamentaldreiecks in demjenigen Punkte, del' vom Einheitspunkte durch die beiden andern Seiten des Fundamentaldreiecks harmonisch getl'ennt iat.
It und ~I;o b beide den Wert 1 an, und die Gleichungen (119) gehen 2 "'1 daher wirklich uber in ~=-~ und (120) Us It oder wegen (116) in 111 = u und U2 = U. (121) US Us Man hat also den Satz: Satz 296: Verfiigt man uber die Bestimmungsstucke eines Dreiecksko ordinatensystems in der Weise, daB man die beiden ersten Ecken e1 und e2 des Fundamentaldreiecks in die unendlich ferne Gende verlegt und zwar zwei Strecken gleich macht, die mit einander den Winkel f einschlieBen und die Lange ;)= v8m f besitzen, wahrend man als dritte Ecke es einen beliebigen im Endlichen liegenden Punkt verwendet, dessen Masse ebenfalls gleich ~,~__ ist, so sind die Verhliltnisse ~!
Man hat also den Satz: 42 Harmonische Beziehungen am vollstandigen Viereck und Vierseit. Satz 301: Ist ein vollstiindiges Vierseit einem vollstiindigen Viereck im Sinne des Satzes 300 eingeschrieben, so wird ein jedes von einer Ecke des vollstandigen Vierseits ausgehende Seitenpaar dieses Vierseits durch die diese Ecke enthaltende Seite und Nebenseite des vollstiindigen Vierecks harmonisch getrennt. Harmonische Strahlu'urfe in den 3 Nebenecken eines vollstiindigen Vierseits. " setze also: (17) Eo!