Mathematische Modellierung by Prof. Dr. Christof Eck, Prof. Dr. Harald Garcke, Prof. Dr.
By Prof. Dr. Christof Eck, Prof. Dr. Harald Garcke, Prof. Dr. Peter Knabner (auth.)
Das einzige deutschsprachige Lehrbuch zum Thema bietet eine lebendige Einf?hrung in die mathematische Modellierung von Ph?nomenen der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Leser lernen mathematische Modelle zu verstehen und selbst herzuleiten, gleichzeitig finden sie eine F?lle von Anwendungsbeispielen. Das Buch bietet eine Vorlage f?r Vorlesungen ab dem four. Semester (Mathematik, Ingenieur- und Naturwissenschaften). Es ist auch zum Selbststudium, insbesondere f?r Doktoranden und Diplomanden mit einem anwendungsnahen Thema geeignet.
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17) kann nur kompensiert werden durch einen Term der Form εkα yk , k ∈ N, kα = 1. Wie im Fall von y1 folgern wir yj ≡ 0 f¨ ur 1 ≤ j ≤ k − 1. Analog erh¨alt man im weiteren Verlauf der asymptotischen Entwicklung, dass die Terme yk mit kα ∈ / N alle Null sind, so dass man von vornherein mit dem Ansatz α = 1 starten kann. F¨ ur α > 1 ist der n¨ achste Exponent ε1 , durch Koeffizientenvergleich folgt dann y0 (τ ) = 0. Dies ist ein Widerspruch zur oben berechneten L¨osung, also ist α > 1 sicher die falsche Wahl.
Wir diskutieren zun¨ achst den einfachsten Fall eines elektrischen Netzwerks im Gleichstromkreis, das im wesentlichen aus Spannungs- oder Stromquellen und aus ohmschen Widerst¨ anden besteht. Insbesondere betrachten wir vorl¨aufig noch keine elektronischen Bauteile wie etwa Kondensatoren, Spulen, Dioden oder Transistoren. 1 gezeigte Netzwerk dienen. 36 2 Lineare Gleichungssysteme IV R5 + U2 − 5 4 R4 3 V R3 R6 +− I U1 6 1 R1 R2 II III 2 Abb. 1. Elektrisches Netzwerk Das Netzwerk besteht im wesentlichen aus • Kanten in Form von elektrischen Leitungen, • Knoten, das sind Verbindungspunkte von zwei oder mehr Leitungen.
23) wobei p der Druck und µ die dynamische Viskosit¨at des Fluids ist. Die Viskosit¨ at beschreibt die Z¨ ahigkeit des Fluids, die durch innere Reibung verursacht wird. Sie ist hoch f¨ ur Honig und niedrig f¨ ur Gase. Weiterhin ist, in Koordinaten ausgedr¨ uckt, 3 ∇·v = i=1 3 ∆v = i=1 ∂ vi ∈ R ∂xi die Divergenz eines Vektorfeldes v, ∂2 v ∈ R3 ∂x2i der Laplace–Operator und 3 (v · ∇)v = ∈ R3 . vi ∂i vj i=1 j=1,2,3 Wir diskutieren zun¨ achst die Dimensionen der auftretenden Terme. Es gilt Variable Dimension v Geschwindigkeit L/T M/L3 0 Massendichte p Druck = Kraft/Fl¨ ache (M · L/T 2)/L2 = M/(LT 2 ) Weiter gilt [µ] = M/(LT ) .