Bundesbuch (Jüdische Schriften aus hellenistisch-römischer by Dieter Lührmann
By Dieter Lührmann
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N=-=-T Itl Itl (IRI = 1) R zeigt in die Richtung der Kurvenkrümmung. (1-40) 1 Ebene und räumliche Kurven • 19 Beispiel WIr bestimmen die Vektoren fund _ r (t) (R . cos. t) = R·smt = R N (COS. t) für den Mittelpunktskreis mit dem Ortsvektor (0 smt 2n) ~ t ~ (Kreis mit dem Radius R um den Nullpunkt, siehe Bild 1-15). :. 1 N=-=-T=-· lil Ifl 1 C~s t ) ( --smt = (-C~st) = _ (C~st) -smt smt 20 1 Vektoranalysis Der Hauptnonnaleneinheitsvektor fJ zeigt somit stets in Richtung des Kreismittelpunktes und ist antiparallel zum Ortsvektor r(t) (siehe Bild 1-16).
I Vektoranalysis 14 Hieraus folgt durch Division durch dt die wichtige Beziehung ds dt Idrl = Iftl = (1-30) dt d. h. die Ableitung der Bogenlänge s nach dem Parameter t ist gleich dem Betrag des Tangentenvektors i: Die Länge des Tangentenvektors ist somit ein Maß für die Änderungsgeschwindigkeit der Bogenlänge! Bei einer Raumkurve erweitert sich die Integralformel (1-28) entsprechend. In diesem Fall gilt: J Jx 12 S = JIftl 12 2 + 5'2 + i 2 dt = I. dt (1-31 ) I. WIr fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen: Bogenlänge einer Kurve Bogenlänge einer ebenen Kurve (Bild 1-9) JIftl dt JJx 12 S = 12 = I, 2 + 5'2 dt (1-32) + 5'2 + i 2 dt (1-33) 11 Bogenlänge einer Raumkurve JIftl dt JJx 12 S = 12 = I, 2 11 r = r(t): Ortsvektor der ebenen bzw.
2 . sin 2 (t/2) = R ·2· sin (t/2) = 2R . sin (t/2) = Damit erhalten wir die folgende Bogenlänge (t läuft von 0 bis 2 Jl): 2n; S = J1frl dt o 2n; = 2R · Jsin (t/2) dt = 2R [ - 2 . 1 haben wir die schraubenlinienförmige Bahn von Elektronen in einem homogenen Magnetfeld durch den zeitabhängigen Ortsvektor r(t) = R . cos (wt) e x +R + ctez . sin (wt) e y beschrieben (siehe hierzu auch Bild 1-3). Wir berechnen nun den bei einem vollen Umlauf zurückgelegten Weg s. Dazu benötigen wir zuerst einmal die Ableitung fr des Ortsvektors r(t) sowie den Betrag regel folgt: fr(t) = -Rw .