Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche by Otto Forster

# Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche by Otto Forster

By Otto Forster

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik proper sind.

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Eine Funktion f : U → R heißt partiell differenzierbar, falls Di f (x) f¨ur alle x ∈ U und i = 1, . , n existiert. f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zus¨atzlich alle partiellen Ableitungen Di f : U → R stetig sind. Schreibweise. Statt Di f schreibt man auch Di f (x) = ∂f ∂ f (x) (x) = . ∂xi ∂xi ∂f . Entsprechend auch ∂xi I. 2) Wir betrachten die Funktion r : Rn → R, r(x) := x = x21 + . . + x2n (Abstand vom Nullpunkt) f¨ur x = (x1 , . . , xn ) ∈ Rn . Die Niveaumengen N f (c) = {x ∈ Rn : r(x) = c} sind f¨ur c > 0 Sph¨aren vom Radius c.

D ist nicht stetig. Beweis. F¨ur die Funktionen fn ∈ C 1 [0, 1], fn (x) := xn , gilt fn = 1 und D fn = n. Daher gibt es keine Konstante C 0 mit D fn C fn f¨ur alle n. Deﬁnition (Norm einer linearen Abbildung). Seien V und W normierte Vektorr¨aume und A : V → W eine stetige lineare Abbildung. Dann wird ihre Norm deﬁniert als A := sup{ A(x) : x ∈ V mit x 1}. Bemerkung. Nach Satz 10 ist A < ∞. Es gilt A(x) A · x Dies folgt daraus, dass A f¨ur alle x ∈ V. A f¨ur alle x = 0. x x Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen A : V → W bildet in nat¨urlicher Weise einen Vektorraum.

Deﬁnition. Unter einer Kurve im Rn versteht man eine stetige Abbidung f : I → Rn , wobei I ⊂ R ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall ist. Nach § 2, Satz 6, wird die Kurve f gegeben durch ein n-tupel f = ( f1 , f2 , . . , fn ) stetiger Funktionen fk : I → R, k = 1, 2, . , n. Die Kurve heißt differenzierbar (bzw. stetig differenzierbar), wenn alle Funktionen fk differenzierbar bzw. stetig differenzierbar sind. 1) Sei r > 0. Ein Kreis vom Radius r in der Ebene wird beschrieben durch die Kurve f : [0, 2π] −→ R2 , t → (r cost, r sint).