Show description

Eine Funktion f : U → R heißt partiell differenzierbar, falls Di f (x) f¨ur alle x ∈ U und i = 1, . , n existiert. f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zus¨atzlich alle partiellen Ableitungen Di f : U → R stetig sind. Schreibweise. Statt Di f schreibt man auch Di f (x) = ∂f ∂ f (x) (x) = . ∂xi ∂xi ∂f . Entsprechend auch ∂xi I. 2) Wir betrachten die Funktion r : Rn → R, r(x) := x = x21 + . . + x2n (Abstand vom Nullpunkt) f¨ur x = (x1 , . . , xn ) ∈ Rn . Die Niveaumengen N f (c) = {x ∈ Rn : r(x) = c} sind f¨ur c > 0 Sph¨aren vom Radius c.

D ist nicht stetig. Beweis. F¨ur die Funktionen fn ∈ C 1 [0, 1], fn (x) := xn , gilt fn = 1 und D fn = n. Daher gibt es keine Konstante C 0 mit D fn C fn f¨ur alle n. Definition (Norm einer linearen Abbildung). Seien V und W normierte Vektorr¨aume und A : V → W eine stetige lineare Abbildung. Dann wird ihre Norm definiert als A := sup{ A(x) : x ∈ V mit x 1}. Bemerkung. Nach Satz 10 ist A < ∞. Es gilt A(x) A · x Dies folgt daraus, dass A f¨ur alle x ∈ V. A f¨ur alle x = 0. x x Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen A : V → W bildet in nat¨urlicher Weise einen Vektorraum.

Definition. Unter einer Kurve im Rn versteht man eine stetige Abbidung f : I → Rn , wobei I ⊂ R ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall ist. Nach § 2, Satz 6, wird die Kurve f gegeben durch ein n-tupel f = ( f1 , f2 , . . , fn ) stetiger Funktionen fk : I → R, k = 1, 2, . , n. Die Kurve heißt differenzierbar (bzw. stetig differenzierbar), wenn alle Funktionen fk differenzierbar bzw. stetig differenzierbar sind. 1) Sei r > 0. Ein Kreis vom Radius r in der Ebene wird beschrieben durch die Kurve f : [0, 2π] −→ R2 , t → (r cost, r sint).