Übungsbuch zur Numerischen Mathematik: Aufgaben, Lösungen by Robert Plato
By Robert Plato
In dem vorliegenden Textbuch werden zu grundlegenden Themen der Numerischen Mathematik ?bungsaufgaben und deren L?sungen vorgestellt. Damit wird es Studierenden aus den Mathematik- und Informatikstudieng?ngen und den Ingenieurwissenschaften erm?glicht, den in den Vorlesungen ?ber Numerische Mathematik erlernten Stoff selbst?ndig zu vertiefen und sich auf anstehende Klausuren vorzubereiten. Die Aufgaben sind quick alle in Vorlesungen verwendet worden und besitzen unterschiedliche Schwierigkeitsgrade. In dem Textbuch wird au?erdem mit der Audio- und Bildkompression eine aktuelle Anwendung der Numerischen Mathematik vorgestellt.
Die in diesem Textbuch verwendeten ?bungsaufgaben sind gr??tenteils der Monografie Numerische Mathematik kompakt, 2. Auflage, Vieweg Verlag, 2004 entnommen. Die verwendeten Bezeichnungen sind aber weitgehend standardisiert, so dass das Textbuch unabh?ngig von der genannten Monografie verwendbar ist. Au?erdem enth?lt es einige weitere Aufgaben, die in Numerikvorlesungen f?r Informatiker und Ingenieure und den dazugeh?rigen Klausuren eingesetzt wurden.
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6 Sei P E JRNxN eine Permutationsmatrix und rr die zugehörige Permutation. Man zeige: (a) Mit der Darstellung mit einer Permutation rr : { 1, ... , N } --7 { 1, ... 7 (Numerische Aufgabe) Man schreibe einen Code, der den Gauß-Algorithmus einmal ohne Pivot-, einmal mit Spaltenpivot- und schließlich mit Totalpivotsuche durchführt. NxN, A(S) (s) ass beim Übergang A
2 Zu einer beliebigen Unterteilung a :::; x 0 < . . < = [a, b] bezeichne In(j) ihr Genauigkeitsgrad :::; 2n J: Xn :::; b des Intervalls (b- a) E~=o akf(xk) eine QuadraturformeL Man zeige, dass + 1 ist; es gibt also ein Polynom P E TI 2n+ 2 mit In(P) =1=- P(x) dx. 3 Man bestimme die Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 E IR durch Koeffizientenvergleich in geeigneten Taylorentwicklungen so, dass die Quadraturformel I2{j) = aof(a) zur näherungsweisen Berechnung von J: + b) ad ( -a+ 2- + a2f(b) f(x) dx einen möglichst hohen Genauigkeitsgrad besitzt.
N, - bestimmt und a1~ als Pivotelement verwendet. NxN -1 + 8 E JRN. 1 sowie für jede Pivotstrategie gebe man die Werte x 1 , ... , XN aus. NxN besitzt eine LR-Faktorisierung mit einer regulären oberen Dreiecksmatrix R genau dann, wenn die Hauptuntermatrizen von A von derForm für n alle regulär sind. 1, 2, ... 9 Für eine symmetrische, positiv definite Matrix A = ( ajk) E JRNxN zeige man Folgendes: (a) es gilt aii > 0 (b) es gilt a;k für j = 1, 2, ... , N, < aiiakk für j, k = 1, 2, ... , N, j =1- k, (c) und der betragsmäßig größte Eintrag von A liegt auf der Hauptdiagonalen.