Signaltheorie by Dr.-Ing. habil. Alfred Mertins (auth.)

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An dieser Stelle werden vorerst einige dazu notwendige Begriffe erläutert. 5) i=m+l ausgegangen, es gelte x = Xl + X2. Das Signal Xl entstammt hierbei dem linearen Unterraum l Xl = span {CPl' .. ·' CPm}' entsprechend entstammt X2 dem 1 Definition eines linearen Unterraumes: M sei eine nichtleere Untermenge aus den Elementen des Vektorraumes X. M ist dann ein linearer Unterraum von X, wenn M selbst ein linearer Raum ist. Das bedeutet, alle Linearkombinationen von Elementen des Raumes M müssen wieder auf Elemente des Raumes M führen.

Die Hilbert-Transformierte eines mittelwertbehafteten Signals ist stets mittelwertfrei. Einige Eigenschaften der Hilbert-Transformation. (i) Da der Kern der Hilbert-Transformation selbstreziprok ist, gilt: (x, iJ) = (x, y) . 143) (ii) Ein Signal x(t) ist orthogonal zu seiner Hilbert-Transformierten x(t): (x,x) = O. 144) Der Beweis erfolgt mit dem Parsevalsehen Theorem: (X,X) J 00 00 / X(w) [X(w)r dw = J -00 00 j X(w) [-j sgn(w)]* X*(w) dw -00 IX(w)1 2 sgn(w) dw = O. 140) folgt, daß eine zweimalige Hilbert-Transformation zu einer Vorzeichenumkehrung des Signals führt, sofern das Signal mittelwertfrei ist.

50) k=l Die Ungleichung ist nur dann mit Gleichheitszeichen erfüllt, wenn X eine Diagonalmatrix ist. Da die Kovarianzmatrix des Repräsentanten bei der KarhunenLoeve-Transformation diagonal ist, kann man daraus schließen, daß diese Transformation zu Zufallsvariablen mit einem minimalen geometrischen Mittel der Varianzen führt . Hieraus lassen sich wiederum optimale Eigenschaften in der Signalcodierung ableiten [Jay84]. Eine Besonderheit ergibt sich, wenn R xx die Kovarianzmatrix eines weißen Rauschprozesses ist (R xx = a 2 I) .

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