Numerische Mathematik by Prof. Dr. Günther Hämmerlin, Prof. Dr. Karl-Heinz Hoffmann
By Prof. Dr. Günther Hämmerlin, Prof. Dr. Karl-Heinz Hoffmann (auth.)
Dieser Band Numerische Mathematik hat Prinzipien des numerischen Rechnens, numerische lineare Algebra und Näherungsmethoden in der research zum Inhalt. Der Begriff der Approximation zieht sich als roter Faden durch den gesamten textual content. Die Betonung liegt dabei weniger auf der Bereitstellung möglichst vieler Algorithmen als vielmehr auf der Vermittlung mathematischer Überlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren führen. Jedoch werden auch der algorithmische Aspekt und entsprechende Effizienzbetrachtungen gebührend berücksichtigt.
Durch den umfangreichen dargebotenen Stoff ist das Buch nicht nur für eine einsemestrige Vorlesung interessant, sondern auch als studienbegleitendes Handbuch geeignet.
Besondere Erwähnung verdienen die zahlreichen historischen Anmerkungen sowie die motivierenden Erklärungen und aufgezeigten Querverbindungen zu anderen Themen.
Besonders zur intensiven Prüfungsvorbereitung geeignet!
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Die numerische Auswertung komplizierter mathematischer Formeln wird darauf reduziert, eine Folge von Elementaroperationen nacheinander auszuführen. Dabei muß man darauf achten, daß die Einzelschritte numerisch stabil ausgeführt werden. Das ist in jedem Einzelfall gesondert nachzuprüfen. Beispiel. Es sei die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0 zu lösen, und es gelte 14acl < b2. Bekanntlich gelten die Lösungsformeln Xl = ~(-b 2a sgn(b)y'b 2 - 4ac), X2 = ~(-b + sgn(b)y'b2 2a 4ac). 2, Fall (b)). Es empfiehlt sich daher zur Berechnung von X2 die Formel Xl .
Verfahrensfehler. Zur Formulierung und Lösung vieler mathematischer Problemstellungen' sind Grenzwertbetrachtungen nötig. Verfahren zur numerischen Lösung können prinzipiell Grenzprozesse nicht nachvollziehen. Daher muß etwa ein Differentialquotient immer durch einen Differenzenquotienten ersetzt und ein Iterationsverfahren nach endlich vielen Schritten abgebrochen werden. Der dadurch entstehende Fehler heißt Verfahrensfehler. Rundungsfehler. Bei der Ausführung von Rechenoperationen können Fehler entstehen, da man immer nur in einem begrenzten Zahlenbereich arbeitet.
Es wurden Rechengeschwindigkeiten erreicht, die im Bereich von 0,3 Sekunden für die Addition, sechs Sekunden für die Multiplikation und 11 Sekunden für die Division lagen. 36 1. Rechnen Die erste vollelektronische Großrechenanlage überhaupt wurde 1946 von JOHN PRESPER ECKERT und JOHN W. MAUCHLY an der University of Pennsylvania aufgestellt. Diese Maschine war für spezielle Aufgaben zur iterativen Lösung von Differentialgleichungen konstruiert. Die Konstrukteure gaben ihr den Namen ENIAC (Electronical Numerical Integrator and Computer).