Katastrophentheorie: Eine Einführung für by Peter T. Saunders
By Peter T. Saunders
Quick jeder Wissenschaftler hat schon von der Katastrophentheorie gehort und wei, da es dariiber in der letzten Zeit eine Menge Diskussionen gegeben hat. Allerdings wissen die meisten nur so viel iiber dieses Thema, wie sie vielleicht in irgend einem well known wissenschaftlichen Artikel gelesen haben. Ziel dieses Buches ist es, jedem Naturwissenschaftler und Studenten die Moglichkeit zu geben, sich auf einem relativ einfachen mathematischen Niveau etwa einem einjahrigen mathematischen Universitatskurs ent sprechend die Theorie so weit verstandlich zu machen, wie dies zum Selbststudium weiterfiihrender Arbeiten oder zu eigenen Untersuchungen notig ist. Viele Leser werden auf eine Menge von Konzepten sto en, die fur sie neu sind; dies ist jedoch unvermeidbar, will guy eine halbwegs angemessene Darstellung der Theorie geben. Trotzdem habe ich mich soweit als moglich auf die Verwendung bereits gebrauchlicher Begriffe konzentriert. Es ging mir darum, die Theorie zu erklaren; es ging mir nicht darum, formale Beweise anzugeben, und es ist dariiber hinaus eben aueh sehwierig, die Dinge in Begriffen verstandlieh zu machen, die gerade erst eingefiihrt wurden. Aus dem gleiehen Grund habe ieh gelegentlich bestimmte Bereehnun gen in einer ebenso direkten wie uneleganten Weise durchgefiihrt, auch wenn ein asthetiseherer Zugang moglich gewesen ware. leh battle jedoeh stets darum bemiiht, mieh am Geist, wenn schon nieht am Buchstaben der Mathematik zu orientieren. Der Leser, der dieses Bueh als Einfiihrung verwendet und dann die Theorie in ihrer voUen Strenge studieren will, muG von dem hier Dargelegten niehts vergessen.
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So kann z. B. nur ein Objekt mit Kodimension 1 den R n in zwei getrennte Teile zerlegen: Ein Punkt teilt eine Gerade, eine Gerade teilt eine Ebene (das Gleiche tut auch jede einfach geschlossene 2 Grundlagen 36 Kurve, sie teilt eine Ebene namlich in eine Innenseite und eine eine Ebene teilt den R3 , und die gesamte Raum-Zeit (wenn wir ihr die globale Topologie des R4 geben) wird durch den dreidimensionalen "Schnappschu~" des heutigen Universums, den wir der Hyperfhche t = to zuordnen, in Vergangenheit und Zukunft geteilt.
B. nur ein Objekt mit Kodimension 1 den R n in zwei getrennte Teile zerlegen: Ein Punkt teilt eine Gerade, eine Gerade teilt eine Ebene (das Gleiche tut auch jede einfach geschlossene 2 Grundlagen 36 Kurve, sie teilt eine Ebene namlich in eine Innenseite und eine eine Ebene teilt den R3 , und die gesamte Raum-Zeit (wenn wir ihr die globale Topologie des R4 geben) wird durch den dreidimensionalen "Schnappschu~" des heutigen Universums, den wir der Hyperfhche t = to zuordnen, in Vergangenheit und Zukunft geteilt.
Hatten wir andererseits einen Entfaltungsterm in x 2 , dann konnten wir damit nicht nur jeden x 2 -Term eliminieren, sondern in Kombination mit y3 + x 2 auch jeden y3 -Term. Daher brauchen Katastrophen hbherer Ordnung 53 wir y3 nieht als Term in unserer Entfaltung und die universelle Entfaltung der parabolisehen Umbilik lautet y4 + X 2 Y + wx 2 + ty 2 + UX + vy. Damit haben wir die Herleitung der sieben Elementarkatastrophen und ihrer Entfaltungen vervollstandigt. Allerdings mu~ten wir bei der Behandlung der parabolisehen Umbilik feststellen, da~ die Singularitat x 2 y nieht endlieh bestimmt ist.