Höhere Mathematik 2: Differentialgleichungen · by Professor Dr. Kurt Meyberg, Dr. Peter Vachenauer (auth.)
By Professor Dr. Kurt Meyberg, Dr. Peter Vachenauer (auth.)
Dieses zweib{ndige moderne Lehrbuch ist aus der langj{hrigen Erfahrung der Verfasser mit Vorlesungen und ]bungen zur H|heren Mathematik f}r Ingenieure an der Technischen Universit{t M}nchen hervorgegangen. Gr}ndlich und pr{gnant, dabei anschaulich und ohhne zu gro~e Abstrakton f}hrt es Studienanf{nger der Ingenieurwissenschaften und anderer technisch-physikalischer Fachrichtungen in die Themenvielfalt der viersemestrigen mathematischen Grundvorlesung ein. Im Druck besonders hervorgehobene, zusammenfassende ]berblicke mit detaillierten Rechenschemata sind hervorragend als Repetitorium geeignet. Daneben werden die wichtigsten numerischen Aspekte durch eingef}gte Programme ber}cksichtigt, die auf erprobten Algorithmen fu~en. Konzipiert als kompakter, preiswerter Begleiter zur Grundvorlesung der H|heren Mathematik, soll das gesamte Werk Studenten h|herer Semester auch Praktikern als Nachschlagewerk dienen.
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Einsetzen: x 2 = 2c + 4a + 4bx + 4cx 2 . Koeffizientenvergleich : ® C = ~, b = 0, a = - ~ ; Yl (x) = - ~ + ~ x2 • Ansatz ftir y" + 4y = 5 cos 2x nach Komplexifizierung y" + 4y mit Tabelle: Yc(x) = cxe 2ix . 5 5 2' Eintragen und Koeffizientenvergleich: C = -4i; Yc(x) = -4 ixe IX. = 5e 2ix 41 §3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Davon der Realteil Y2(X) 8 = ~ x sin2x. Superposition : Yp(x) = Allg. Lösung : y(x) = -~ + ~x2 + ~ x sin 2x . 5 Lineare mechanische Schwingungen. O Eine von außen durch F(t) ange- regte, gedämpfte Schwingung genügt unter der Voraussetzung, daß die rücksteIlende Federkraft proportional zur Auslenkung x = x(t) und die Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit x ist, der Bewegungsgleichung mx + d x + C x = F(t) (c Federkonstante, d Dämpfungsfaktor).
Schritt: Ruhelagen sind x(t) E = kn, k = x(O) Cl,C2 E 1R. = Xo, x(O) = O. 7L. 2. h. x = ±wy'2(cosx -cosxo), x(O) . 2 , Abb. 92). J x 3. Schritt : Implizite Lösung ist t = t(x) = ±b xo d~ y'2(cos ~ - cos xo) . Zur Auflösung nach x(t) benötigt man die sog. elliptischen Funktionen. K(k) ~ I-----mg Abb. 44 - a) Mathematisches Pendel k b) Schwingungsdauer 47 §3. SpezieUe Differentialgleichungen 2. Ordnung Die Schwingungsdauer T, das ist viermal die Zeit, die das Pendel von Xo bis o benötigt, ergibt sich mit der Umformung sin ~ = sin ~o sin qJ k sin qJ (~ Kap.
2. Ist f : G - IR. stetig partiell nach Y differenzierbar, dann genügt f in jedem Rechteck R = {(x,y); Ix - xol ::; a, IY - yol ::; b} , das ganz in G liegt, einer L-Bedingung mit L-Konstanten L = Max{lfy(x, y)l; (x, y) E R} . Beweis. 2, Kap. 3, Satz v. 1, Kap. 7) . 3. (2) Beweis. o Das AWP (1) ist äquivalent zur Integralgleichung y(x) = Yo + l x f(t,y(t») dt . Xo Man integriert (1) von Xo bis x, bzw. man differenziert (2). 0 53 §4. 4. Gronwall-Lemma (1918). a) Gilt mit der Konstante C > 0 o ::;; ({)(x) ::;; C + L (3) l Sei (() : [a, b] - JR stetig und L;;::: 0 .