Harmonische Räume und ihre Potentialtheorie: Ausarbeitung by Heinz Bauer
By Heinz Bauer
_ .... _--------- ------------ Während der letzten zehn Jahre konnte :man eine Neubelebung des Interesses für die Potentialtheorie beobachten. Zwei Ursachen lassen dies verständlich erscheinen: Einmal die innere Weiterentwicklung der Potentialtheorie. welche nach der Erfassung möglichst umfangreicher Klassen von Differentialgleichungen und Kernen drängt, zum anderen die Entwicklung der Theorie der Markoffschen Prozesse und der vor allem durch die bahnbrechende Arbeit von G.A.HUNT erwirkte Brückenschlag hinüber zur Potentialtheorie. Die genannte innere Entwicklung der Potentialtheorie hat,aufbauend auf Ideen von TAUTZ I} nine] , I} zero] , DOOB [!9] und BRELOT, zu einer Axiomatisierung der Theorie der harmonischen Funktionen ge führt mit dem Ziel eines gleichzeitigen Erfassens bereits vorliegen der Resultate über die Potentialtheorie RieTrlannscher Flächen und Greenscher Räume und einer Ausdehnung der Potentialtheorie der Laplace-Gleichung auf bislang unerforschte Klassen elliptischer Differentialgleichungen. A:m bekanntesten und a:m weitesten vollendet ist in dieser Richtung die in OS] dargestellte Theorie von BRELOT. Wichtige Ergänzungen verdankt guy der those 1}1] von MadaTrle , HERVE • Während die Brelotsche Theorie ausschließlich elliptische Gleichungen betrifft, bemühten sich DOOB ~o]. KAMKE ~{1 und Verf. um die Einbeziehung auch parabolischer partieller Diffe rentialgleichungen zweiter Ordnung.
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Die Regularisierte () einer jeden \0 -nahezu hyperharmonischen Funktion v ist hyperharmonisch auf X. Es gilt für jedes x E:. lO xE:V Beweis. Da v lokal nach unten beschränkt ist, gilt v(x) für alle x E:. X. Wegen der Identität '\0 -hyperharmonischer > -00 und hyperharmonischer Funktionen folgt die Hyperharmonizität von v - 46 - aus der Gültigkeit von für alle V ~ Dies ergibt sich so: es ist Jr'''v drxV und x Jvdr~ ~ S*vdpx V und somit V. " ~ v(x). 9 ist x"""'" J{" v drxV halb stetig.
Besitzen alle Punkte x EX' A eine Eigenschaft E und ist A vernachlässigbar. so sagen wir: die Eigenschaft Eist nahezu überall erfüllt. 5. (x) 2.. 1. 1. I X mit vI (x) Die Behauptung folgt somit aus Insbesondere gilt also ' \ = v2 für eine r: Er Y gilt -Nullmenge ist. 6. Das Komplement jeder vernachlässigbaren ------------- Menge A liegt dicht in X. f: r: r: Beweis. 1i gilt einerseits (A n yM ) = von Y* getragen wird, (A) ;;;: O. Da nach dem Trennungsaxiom r: eine in einer Umgebung von Y definierte, strikt positive, harmonische Funktion h existiert und für diese h(x) = sein.
So liegt auch die folgende Funktion u A in l~· x· u A (x) == z. A L(:) x __ A x EA . Ist eine Absorptionsmenge in X und U eine offene Teilmenge von X. so ist A 1'\ U eine Absorptionsmenge im harmonischen Raum U. 3. Der Durchschnitt einer jeden Familie von Absorptionsmengen ist offenbar wieder eine Absorptionsmenge. Ferner ist die Vereinigung von je endlich vielen Absorptionsmengen Al' •••• A n eine AbsorpR tionsmenge. In der Tat: es existieren Funktionen u l , ••• u n E; mit A. (O) 1 (i=l, ••• ,n).