Gruppen in der Neuen Mathematik: Eine elementare Einführung by Irving Adler
By Irving Adler
Dieses Buch handelt von der mathematischen Struktur, die als Gruppe bekannt ist. Der Begriff der Gruppe wurde im achtzehnten Jahrhundert auf Grund von Unter suchungen gewisser Gmppen gepragt, die in der Algebra auftreten. Spater ergab sich, d es auch in der Geometrie und anderen Zweigen der Mathematik wichtige Gruppen gibt. SchlieBlich stellte sich heraus, d Gruppen in Kunst und Wissenschaft tiberhaupt eine wichtige Rolle spielen. Die Bedeutung der Gruppen ergibt sich aus ihrem Nutzen flir das Studium von Symme trien, wie wir in Kapitel 7 sehen werden. Symmetrie tritt in der Natur sehr Mufig auf, und wo immer Symmetrie auf tritt, gibt es eine entsprechende Gruppe. Aus diesem Grund findet die Gruppentheorie in vielen WissenschaftenAnwendung. Sie wird z. B. von Kri stallographen beim Studium von Symmetrien der Kristalle von Mineralen verwendet. Sie wird ebenso von Physikem und Chemikem bei Untersuchungen von Symmetrien von Elementarteilchen und Kraftefeldem benutzt. Die Bedeutung der Gruppentheorie wurde erst kiirzlich sehr nachdriicklich unterstrichen, als einige Physiker mit Hilfe der Gruppen theorie die Existenz eines Elementarteilchens voraussagten, das nie zuvor beobachtet worden struggle, und die Eigenschaften beschrieben, die es haben sollte. Spatere Experimente zeigten, d dieses Teilchen tatsachlich existiert und jene Eigenschaften hat. Aus der Sicht des durchschnittlichen Lesers besteht eine Lticke in der vorhandenen Literatur tiber Gruppen. Einerseits gibt es sehr viele Lehrbticher tiber Gruppentheorie. Aber diese sind zu abstrakt, zu technisch und zu schwierig flir den durchschnittlichen Leser.
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Symmetrien ebener Figuren Dreiecks nicht das Kommutativgesetz, da es einige Produkte von Symmetrien gibt, bei denen eine Vertauschung der Faktoren den Wert des Produktes andert. Es gibt also Gruppen, in denen flir die Gruppenoperation das Kommutativgesetz gilt, und es gibt Gruppen, in denen dies nicht der Fall ist. Eine Gruppe, flir deren Operation das Kommutativgesetz gilt, hei~t eine kommutative Gruppe. Eine kommutative Gruppe wird nach Niels Henrik Abel, einem der Pioniere bei der Erforschung von Gruppen, auch Abelsche Gruppe genannt.
Die zweite Bewegung endet am Punkt O. Also gilt 2 + 3 = o. Entsprechend erMlt man 2 + 4 = 1. Urn die Summen dieser Zifferblattzahlen zusammenzustellen, fertigen wir eine Additionstafel ahnlich der Multiplikationstafel in Kapitel 5 an. Wir zeichnen eine Tafel mit flinf Zeilen und flinf Spalten. Die Zeilen werden an der linken Seite von oben nach unten mit den ZaWen 0, 1, 2, 3 und 4 bezeichnet. Die Spalten werden an der oberen Seite von links nach rechts mit 0, 1, 2, 3 und 4 bezeichnet. Sind a und b zwei beliebige Zifferblattzahlen, wird die Summe a + b in das Feld geschrieben, das in Zeile a und Spalte b steht.
Wenn wir + durch 0 und 0 durch i ersetzen, erhiilt Gleichung (7) die Gestalt: aob=boa=i. (11) Somit stell en wir fest, daB bei Verwendung dieser neuen Schreibweise die vier Eigenschaften, die die Menge aller MaBzahlen beziiglich der Multiplikation besitzt, und die vier Eigenschaften, die die Menge aller ganzen Zahlen beziiglich der Addition besitzt, in genau der gleichen Sprache ausgedriickt werden k6nnen. In beiden Fillen haben wir eine Menge von Elementen, eine biniire Operation 0 in der Menge und ein Element i in der Menge mit folgenden Eigenschaften: I.