Dynamische Systeme und Fraktale: Computergrafische by Karl-Heinz Becker, Michael Dörfler
By Karl-Heinz Becker, Michael Dörfler
Oft wird heute im Zusammenhang mit der "Theorie komplexer dynamischer Systeme" von einer wissenschaftlichen Revolution gesprochen, die in alle Wis senschaften ausstrahlt. Computergrafische Methoden und Experimente bestim males heute die Arbeitsweise eines neuen Teilgebietes der Mathematik: der "experimentellen Mathematik". Ihr Inhalt ist neben anderem die Theorie kom plexer, dynamischer Systeme. Erstmalig wird hier experimentell mit laptop systemen und Computergrafik gearbeitet. Gegenstand der Experimente sind "mathematische Rückkopplungen", die mit Hilfe von Computern berechnet und deren Ergebnisse durch computergrafische Methoden dargestellt werden. Die rätselhaften Strukturen dieser Computergrafiken bergen Geheimnisse, die heute noch weitgehend unbekannt sind und eine Umkehrung des Denkens in vielen Bereichen der Wissenschaft bewirken werden. Handelt es sich hierbei tatsächlich um eine Revolution, dann muß dasselbe wie für andere Revolutionen gelten: • die äußere Sitution muß dementsprechend vorbereitet sein und • es muß jemand da sein, der neue Erkenntnisse auch umsetzt. Wir denken, daß die äußere günstige Forschungssituation durch die massenhafte und preisgünstige Verbreitung von Computern geschaffen wurde. Mehr und mehr haben sie sich als unverzichtbare Arbeitswerkzeuge durchgesetzt. Es ist aber immer die wissenschaftliche Leistung einzelner gewesen, das used to be möglich ist, auch zu tun. Hier sei zunächst der identify Benoit B. Mandelbrots erwähnt. Diesem wissenschaftlichen Aussenseiter ist es in langjähriger Arbeit gelungen, den grundlegenden mathematischen Begriff des "Fraktals" zu entwickeln und mit Leben zu füllen. Andere Arbeitgruppen waren es, die die speziellen grafischen Möglichkeiten weiterentwickelten.
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Bei einigen Implementationen sind "TextMode" und "GrafMode" Systemprozeduren. Dies ist bei der TurboPascal-Implementation auf MS-DOS-Rechnem der Fall, ebenso bei UCSD-Pascal. (vgl. dazu Kap. ). "Button" entspricht etwa der "Keypressed-Funktion" in TurboPascal. -1 erwähnt worden. 1-1 ersehen kann, haben wir unser bisher "numerisches" zu einem "grafischen" Meßinstrument ausgebaut. Nun können wir leichter der "Zahlenflut" durch Visualisierung begegnen. Die Erweiterungen unseres Programmes beziehen sich im Wesentlichen auf die Grafik, die Grundstruktur bleibt erhalten.
LT. ·. :·. . . . . . ~. T. ~. ·~·~·T. :. ~. I. 'j'. . :im:mmmi:iiiiiiiiiimmiiiiimi! 1-8: Formelzusammenhang Tragen Sie nun Ihre Berechnungen grafisch auf. Sie hätten damit 6 einzelne Zeichnungen zu erstellen. Jede dieser Zeichnungen im Koordinatensystem enthält soviel Punkte wie Rückkopplungen durchgeführt wurden. a. 1-9). Sie haben sicher gemerkt, wie mühselig dies alles ist. Außerdem ist an diesem Bild nicht sehr viel zu erkennen. Um das Verhalten dieses dynamischen Systems zu verstehen, genügt es nicht, für nur jeweils 6 k-Werte die Rückkopplungen durchzuführen.
L. ·. ·. :·. . ·. :. :'·. iimmiiiiiiiiimiiiiiimmiiiiimiiiiiiiiimimiii:imiii:miiiiimmimiiiijl Q l2J 8 ............................................ 9164; r---=-- H . . . . . . . . . . . ... . : . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · ·. · . ·: ·. . 0 Um TImen ein Gefühl für die Berechnungsvorschrift und die Grenzen der Zeichnung zu geben, nehmen Sie bitte Thren Taschenrechner zur Hand. 5; k6 = 3 nach der Formel: f(Pn) = Pn + k * Pn * (1 - Pn) = Pn+ I die Werte für PI bis Ps.