Der kanonische Modul eines Cohen-Macaulay-Rings by Jürgen Herzog, Ernst Kunz (auth.), Jürgen Herzog, Ernst Kunz
By Jürgen Herzog, Ernst Kunz (auth.), Jürgen Herzog, Ernst Kunz (eds.)
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M sei ein endlich erzeugter R-Modul der Krulldimension n. o für i ~ gilt: > n. Die zweite Aussage gilt für beliebige R-Moduln M. 1), Ijl : R ... R I der kanonische Epimorphismus. 'M' =
n K. 7 auch Hi, (M') O. 11 erhält man deshalb: Der Beweis der ersten Aussage des Satzes wird in mehreren Schritten - 40 - vollzogen.
CM-Ring. ~ ~ > folgende Aussagen äquivalent: 1 auf, ~ - 43 - Beweis: Die Dimension von R sei n ~ 1. ) = 0 ~+l fOf,) = ~ (RM) fUr m + 1 < n. Ist ()(. ein CM-Ideal, so ist, weil dirn ()(. = dim R = n ist (dim U(, bedeutet die Krulldimension des R-Moduls '()(,), ~+l (a) = 0 für m = O, ••• ,n - 2, also ~(R;oc,) = 0 (m = 0, ••• ,n-2). AuS der Formel n - 1 < t (vgl. ) ergibt sich, weil Rein CM-Ring ist, daß fUr alle ~ e: Ass(R~) gilt: h(1) ~ 1. Es sei nun h(<<) - 1. Damit gleichbedeutend ist, daß in der Primärzerlegung vona nur Primideale der Höhe> 1 auftreten, davon ein Primideal mit der Höhe = 1.
Gröbner [8]. Für spätere Anwendungen wichtig ist die Äquivalenz von a) und cl, vgl. 29. 5. (Gorenstein, Apery, Samuell Sei Rein lokaler eindimensionaler Gorensteinring. 2 ganze Abschließung R ~ R !!! ~ endlicher R-~. f !!! l. R. ~ gilt 2 tlR/tl = t(R/]'). Beweis: Da f .. 4 f), daß tIR/R) • R,IR/t>. Da ferner tIR/R) .. t(R/;) - t(R/1), ergibt sich die Behauptung. 5 gilt. 6. 2!! R ~ eindimensionaler lokaler CM-Ring. 2 ganze Abschließung ~ R sei ~ endlich erzeugter R-~. 5: r(R) ~ t(R/t) - 2 t(R/,) + 1.