Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche by Otto Forster

Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche by Otto Forster

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses f?r studierende der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel ?ber Differentialrechnung im R^n behandelt nach einer Einf?hrung in die topologischen Grundbegriffe Kurven im R^n, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Ver?nderlichen, implizite Funktionen und parameterabh?ngige Integrale.
Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einf?hrung in die Theorie der gew?hnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der lienaren Differentialgleichungen eingegangen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu gro?e Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erl?utern, insbesondere solche, die f?r die Physik suitable sind.

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Da Dj DjE = Dj Djf, gilt flir die zweite Summe LDjDjf(xHj~j = ~ j

Die Urnkehrungen gelten i. a. nicht. Wegen dieser Zusammenhlinge nennt man eine stetig partiell differenzierbare Funktion kurz stetig differenzierbar. Satz 3 (Kettenregel). Seien U C IR n und V C IR m offene Mengen und g: U _ IR m und f: V - IRk Abbildungen mit g(U) C V. Die Abbildung g sei irh Punkt x E U differenzierbar und die Abbildung f im Punkt y := g(x) differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Abbildung fog:U_IR k 49 § 6. Totale Differenzierbarkeit im Punkt x differenzierbar und [iir ihr Differential gilt D(f 0 g) (x) = Df(g(x» .

4) gilt grad fer) = f' (r) i r . = Ilxll. 43 § 5. h. M(r) X = f" (r) + n; 1 f' (r). Daraus ergtbt sich insbesondere ~ 1 n-2 r =0, ~lnr=O flir n=2. 9) Wir wollen zeigen, daE die Funktion F: (IR 3 \0) X IR -IR F(x,t):= cos(r - ct) r ' r=lIxII, eine Losung der Schwingungsgleichung irn dreidirnensionalen Raum ist. 8) gilt _( a 2 ar2 ~F - 2 a ) cos(r-ct) r . + r ar Nun ist sin(r- ct) cos(r- ct) a cos(r-ct) r2 ar a 2 cos(r-ct) cos(r-ct) sin(r-ct) cos(r-ct) """2 r =+2 2 +2 3 ar r r r also ~ cos(r-ct) cos(r-ct) r =r .

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