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Proposition. — Soit ϕ = a1 , . . , an une n-forme de Pfister, et soit b ∈ D(ϕ ), o` u ϕ est la forme pure associ´ee ` a ϕ. Alors il existe b2 , . . , bn ∈ F ∗ tel que ϕ b1 , . . , bn . D´emonstration. — On proc`ede par r´ecurrence sur n. Si n = 1, on a b = a1 c2 pour un c ∈ F ∗ et l’assertion est ´evidente. Supposons n > 1 et soit τ = a1 , . . , an−1 1 ⊥ −τ , d’o` u ϕ = τ ⊥ an τ. ´ CHAPITRE 2. LA THEORIE DE PFISTER 18 ´ Ecrivons b = x + an y, avec x ∈ D(τ ) ∪ {0}, y ∈ D(τ ) ∪ {0}. On distingue plusieurs cas : 1) Si y = 0, on a x = 0 et b ∈ D(τ ), donc (par r´ecurrence) τ b, b2 , .

2. Formes devenant hyperboliques sur le corps des fonctions d’une quadrique Consid´erons le probl`eme suivant : soient q, ϕ deux formes quadratiques sur F . Quand ϕ devient-elle hyperbolique sur F (q) ? 1. 2. FORMES DEVENANT HYPERBOLIQUES 31 r´eponse compl`ete si q est une forme de Pfister. Commen¸cons par le cas dim q = 2. 1. Proposition. — Soient a ∈ F ∗ \ F ∗2 et ϕ une forme anisotrope sur F . 13). Alors ϕ avec dim ρ = m et dim ϕ = dim ϕ − 2m. D´emonstration. — Notons que 1, −a F (√a) ∼ 0 ; par suite, en raisonnant par r´ecurrence sur m, il suffit de traiter le cas m = 1.

Par d´efinition, on a dim q ≥ dim q0 > dim q1 > . . ; par cons´equent h est bien d´efini. Notons aussi que les dim qi ont la mˆeme parit´e que dim q ; en particulier, h(q) ≤ 12 dim q. ´ CHAPITRE 4. 3. Th´ eor` eme ([122, th. 1]). — Soient q une forme quadratique sur F et K/F une extension quelconque. Alors il existe un unique i ∈ {0, . . , h(q)} tel que diman qK = dim qi . D´emonstration. — L’unicit´e est claire. Pour l’existence, soit i le plus petit entier tel que dim qi ≤ diman qK . Il faut montrer que dim qi = diman qK .