Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung by Peter Steinke

Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung by Peter Steinke

By Peter Steinke

Die ausführliche Darstellung und die rechnergestützte Vorgehensweise dieses Lehrbuches ermöglichen einen einfachen Einstieg in die Finite-Elemente-Methode (FEM). Nach einer Einführung in die mathematischen Grundlagen werden das Verfahren von Ritz, Probleme der Statik einschließlich Stabilitätsbetrachtung, Probleme der Dynamik und Feldprobleme behandelt. Die dritte Auflage ist um neue und überarbeitete Kapitel, eine Vielzahl weiterer Beispiele sowie eine neu gestaltete Lernsoftware CALL_for_FEM erweitert. Über die Internetadresse: http://extras.springer.com/2010/978-3-642-11204-1 kann dieses Softwarepaket heruntergeladen werden. Es enthält im Einzelnen: Interaktive software program zur Lernunterstützung, direkten Zugriff auf die Lösungen der Übungsbeispiele, FE-Programme (symbolisch, numerisch) samt Pre- und Postprozessoren, Video-Tutorials zur software program und Beispiellösungen, umfangreiche Hilfefunktionen, FE-Rechnungen mit Symbolen über das web. Das Buch ist sowohl für Studierende als auch für Ingenieure und Physiker in der Praxis geeignet.

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Die Lage der St¨ utzstellen (Gaußpunkte) und Wichtung f¨ ur unterschiedliche Polynomgrade p Element p n i L1i L2i wi 1 1 I 1 3 1 3 1 2 I 1 6 1 6 1 6 II 2 3 1 6 1 6 III 1 6 2 3 1 6 I 1 3 1 3 9 − 32 II 11 15 2 15 25 96 III 2 15 2 15 25 96 IV 2 15 11 15 25 96 2 3 1 0 1−L1 0 3 4 n f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 = wi f (L1i , L2i ) |J(L1i , L2i )| (110) i=1 48 2. Mathematische Grundlagen n ist die Anzahl der St¨ utzstellen (Gaußpunkte). Ihre Lage L1i , L2i und die Gewichtung wi sind in Tab. 8 zusammengestellt.

Yij = yi − yj mit i, j = 1, . . , 3. Die Dreiecksfl¨ ache l¨ aßt mit Hilfe von xij und yij schreiben 1 als: AΔ = 2 (x21 y31 − y21 x31 ). 1 Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Jakobi-Matrix Die partiellen Ableitungen ∂/∂L1 und ∂/∂L2 k¨ onnen mit Hilfe der Kettenregel geschrieben werden als: ∂y ∂ ∂ ∂x ∂ + = ∂L1 ∂L1 ∂x ∂L1 ∂y ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ + = ∂L2 ∂L2 ∂x ∂L2 ∂y (81) In Matrizenform ergibt sich daraus: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂L1 ∂ ∂L2 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣ ∂x ∂L1 ∂x ∂L2 ∇Δ ∂y ∂L1 ∂y ∂L2 J ∇Δ = J ∇ ⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ ∂ ∂x ∂ ∂y ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∇ (82) Die Matrix J in der voranstehenden Beziehung nennt man die Jakobi-Matrix.

6. Gr¨ oßen bei der Integration entlang einer Dreieckskante. 9 a! b! Sij (a + b + 1)! 1 Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme Polynome (2M − 1)-ten Grades k¨ onnen mit Hilfe des Verfahrens von Gauß exakt numerisch integriert werden. Die Anordnung der St¨ utzstellen xi im utzstellen lassen Intervall [a, b] und die Gewichtungsfaktoren wi an den St¨ sich nach Gauß [25] berechnen als: M−1 wi xm i = i=0 1 bm+1 − am+1 , ∀ m = 0 . . 2M −1 m+1 (102) F¨ ur ein Polynom ersten Grades erh¨ alt man mit M = 1: m=0: w0 = b − a (103) 46 2.

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