~ i bijektiv. Es erhebt sich die naheliegende Frage, ob man, etwa durch passende Wahl yon U und V erreichen kann, daS auch ~:~@ (tA), t ~ 0 , A E ~ ~ M I ( ~ i ) injektiv ist. Dies gilt jedoch schon in einfachsten F~llen nicht mehr: Sei ~ : R 1 und d+ ] A = ~{~x' x=o d i e xff R ~ . ~i : T der eindimensionale erzeugende Dann i s t Distribution nat~rlieh ~//(%) Torus. Weiter sei der Punktmaghalbgruppe = " ~ ( ~ 1 ), andererseits aber ist s t e t s A 6 ~ .

Ahei~t dannnormie~t Dann ist, wie man leicht nachprGft R A- oder genauer die Fortsetzung yon RAauf den komple×en Raum ~ ( ~ ) - dissipativ und es gibt daher eine eindeutig bestimmte Halbgruppe yon kontraktiven MaVen ( #t,t $0, ~ soda~ der Abschlu~ yon R A die Halbgruppe = ~e ) ( R ~ t ) erzeugt. Heyer [35] ), aus der Eindeutigkeit folgt, da~ ~t : ~t ,t ~ 0 . (Erzeugende Distributionen und ihre Eigenschaften werden sp~ter in I. genauer behandelt, f~r den Augenblick halten wir nur fest : A heist erzeugende Distribution von ( ~ t ) , falls A ein auf lineares Funktional ist (- daher'Distribution' ~(~ ) definiertes -) , f~lls ( y t ) und A einander eineindeutig entsprechen und falls A(f) : d # t ( f ) dt Analog sprechen wir von dissipativen Distributionen.

Bruhat. dem dissipativen Funktional A auf ~ ( ~ ) ). t:O ~(~) sei Dann gibt es zu je- genau eine stetige Halbgruppe kontraktiver komplexer Ma~e ( ~t,t ~ O, ~o: ~e )' soda~ der Abschlu~ des Operators ( R A , ~ ( ~ ) ) der infinitesimale Generator der Operatorhalbgruppe ( R ~ t ) auf C o ( ~ ) ist. Insbesondere folgen daraus, da~ fGr ~ > 0 Co(~ ) liegt , sowie, da~ A(f) : lim t~O (I- ~ R A) ~ (~) ( i / t ) ( ~ t ( f ) - ~e(f)) Ist A fast positiv und normiert, dann ist (~t eine stetige Halbgruppe yon Wahrscheinlichkeitsma~en :: dicht in , fe ~ ( ~ ) .